课题：二次函数与一元二次方程（3）

目标：熟练掌握二次函数与一元二次方程的根的情况的关系，并会用来解决问题。

X

Y

O

重点、难点：用二次函数与一元二次方程的根的情况的关系来解决函数问题

过程：

一、复习旧知：

1、抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)大致位置如图，判断下列代数式的符号：

(1)a ;   (2)b;    (3)c; (4)b²-4ac ;     

 

 

 

2、抛物线与X轴交点情况与一元二次方程的根的判别式的符号的关系：

a﹥0

a﹥0

⊿﹥0

⊿=0

⊿﹤0

 

 二、新课：

2、求证：抛物线y=x²-mx+m²+1在x轴的上方.

证明：

∵二次项系数1>0，

∴抛物线y=x²-mx+m²+1的开口向上.

对于方程x²-mx+m²+1=0，

△=m²-4(m²+1)=-3m²-4.

∵-3m²≤0，-4<0,

∴ △<0.

可知抛物线y=x²-mx+m²+1与x轴没有公共点.

∴抛物线y=x²-mx+m²+1在x轴的上方.

 

 

3、已知抛物线y=x²+4x+m与 x轴有两个公共点A、B，且线段AB=6，求m的值.

解：不妨设点A在点B的左侧，点A的坐标为(x₁,0).

∵线段AB=6，∴点B的坐标为(x₁+6,0).

此时，x₁、x₁+6是相应的一元二次方程x²+4x+m=0的两个实数根，得

x₁+(x₁+6)=-4    ①

x₁·(x₁+6)=m     ②

由①解得x₁ =-5，再代入② ，

解得m=-5.

 

4、已知二次函数y=x²+px+q的图象与 x轴的两个公共点A、B两点(点A在点B的左边)，它与y轴的负半轴的公共点为C，且tan∠ABC=2，S_△ABC=24.

X

Y

O

A

B

C

求这个二次函数的解析式.

 

 

三、小结：

二次函数问题的解决常要用到对应的一元二次方程的有关知识；

1、抛物线上公共点的横坐标；

(对应的一元二次方程的根)

2、抛物线与x轴的公共点个数；

(对应的一元二次方程的根的判别式△)

3、抛物线在x轴上截得的线段长.

(对应的一元二次方程的根与系数的关系)

 

杨凯