案例分析

——同类二次根式的概念拓展

田林三中    陈爱华

二次根式是初二代数中一个非常重要的内容，同类二次根式又是其中最重要的概念之一。初二数学教材上关于同类二次根式的描述是“几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式”，显然此定义是建立在最简二次根式基础之上的。

在学习过程中，练习册上有这样一道题：如果和都是最简二次根式，且是同类根式，那么整数x=     。根据题意，学生马上求出答案x=0 。        

后来，在一次习题课上，碰到一道习题：若 与３是同类二次根式，则a的值是（　　）Ａ、　　Ｂ、　　Ｃ、　　Ｄ、。由于题目未讲明与３是否是最简二次根式，同学们普遍感到难以下手。求解时，大多数同学的做法是先假定两根式都为最简二次根式，然后由同类二次根式的定义列出等式“”解得“”。为了检查正确与否，最后又进行了验算，将“”代入原题，得到的根式是“”与“”，作为特例，它们满足题意，是同类二次根式。于是题目得到了圆满解决，选择答案B。

恰在此时，个别爱动脑筋的同学发出了自己的疑问，验算时，得到的“ ”与“”都不是最简二次根式，这与我们解题时的假设互相矛盾！一时全班哑然。

为了调动同学们的积极性，我让同学们相互间展开讨论，同时自己也展开思考。经过共同努力发现问题出在同类二次根式的概念上，概念讲明最终比较时是看最简二次根式的被开方数。而在上题中，两根式有意义的充要条件是“且”即“”，在此范围内两根式的被开方数都是分数，根式根本不可能是最简二次根式，所以我们作出了的假设原本就不成立，也就意味着此题不能直接用课本定义加以判断，必须对同类二次根式的概念加以挖掘和拓展！

根据课本定义有以下两点值得注意：

不论几个二次根式是否为最简二次根式都有：1、若被开方数相同，必为同类二次根式，如 与 ；2、经过一步或几步变形，若被开方数相同，必为同类二次根式。如与，可变形为即可判断；或将变形为也马上可以判断；甚至可将变为，同时将变为作最终判断。

有了以上两点，问题已迎刃而解，原题不必作任何假设，直接将原式被开方数比较，或者将其一或二者经一步或数步变形后再比较被开方数，即可得到结论。象这样未指明是否是最简二次根式的情况都有无数组解。此题同样有无数组解，答案C是满足题意的一个解。

通过此题的探索，使我们得到了判断同类二次根式的更简单和更广泛的方法，不必将原式化成最简二次根式，也不必关心它们是否是最简二次根式，只需直接观察被开方数可否化成相同的值即可得到结论。

教学体会：

1、课堂教学是教与学双边活动的主要场所。课堂教学要具有浓厚的民主气氛，充分发挥学生的学习积极性与主动性，让学生在老师的指导下通过独力的探索以及与同学的交流来获取知识，使其真正体会到学习数学的乐趣，进而来培养学生发现问题、解决问题、总结问题的能力。这意味着对我们老师和学生提出了更高的要求。老师在课前对内容的挑选、上课思路的设计应更精更巧。学生在上课时应积极动脑、发言。在师生的共同努力、配合下，使得四十五分钟的课堂教学更加有成效。

2、如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质。

对展示概念背景——精确表述概念——解剖新概念——运用新概念这几个环节中，解剖新概念尤为重要，可以培养学生思维的缜密性，思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识。
    所以概念教学不仅要使学生记住概念，会用概念去解题，还应让学生了解概念建立的合理性．在教学的每个环节，都应通过启迪和引导，使学生参与到分析知识的形成过程中去，从而使学生思维能力得到有效的培养和开发。

3、精心设计课堂练习，给学生提供探究的机会。学生对新概念的掌握不是一次能完成的。需要由“具体→抽象→具体→抽象”的多次实践。为了让学生理解和掌握有关概念，要精心地设计练习题，让学生在独立练习，分组探究的过程中形成技能，发展智力。