九年级数学期中考试范围及知识梳理（一）
第二十四章 相似三角形
24．1 放缩与相似形
知识梳理
1． 相似形的定义
日常生活中我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把 的图形称为相似图形，或者称为相似形。
２．相似图形的性质：
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的 相等， 成比例。
３．方格法画与已知图形相似的图形
（１）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的依据是 。
（２）利用“方格法”画与已知图形相似的图形的方法：在格子图中画与已知图形相似的图形时，首先应确定 ，然后根据比例数在格子点上找出 ，再根据 即可画出图形。
24．2 比例线段
知识梳理
1. 如果a：b=c：d（或=），那么就说a、b、c、d成比例。两条线段的长度的比叫做
。
2．在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=，我们就把这四条线段叫做 ，简称 。
3．如果a、b、c、d是比例线段，即=（或a：b=c：d），那么线段a、d是比例 项，线段b、c是比例 项，线段d是a、b、c的 比例项。
4．比例的基本性质
比例线段的两个 的积等于两个 的积。即如果=，那么ad=bc。还可以得到：如果=，那么=、=、=……
5．合比性质
如果=，那么= .(1)
类似地,可得:如果=，那么= .(2)
我们把结论(1)、(2)叫做比例的 。
6．等比性质
如果==k，那么===k这个结论叫做比例的 性质.
7.如图所示,如果点C把线段AB分割成AC和CB(AC>CB)两条线段,且=,那么称这种分割为 ,点C叫做线段AB的 , AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比值叫做 （简称黄金数）。由计算可知，AC：AB=：1≈0.618. 24.3 三角形一边的平行线
知识梳理
1. 三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段 .
2. 三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线, 截得的三角形的三边与
对应成比例.
3.三角形的重心
三角形三条 的交点叫做三角形的重心.三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的 倍.
4. 三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的
5. 三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形的两边的 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.
6.平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段
7平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段_________
24.4 相似三角形的判定
知识梳理
1. 如果两个三角形的________,那么这两个三角形叫做相似三角形.对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点.如图所示,两个三角形中,∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,且==,这时⊿ABC与⊿DEF相似,记作__________.读作__________.
2. 相似三角形对应边的比叫__________.也叫__________,通常用k表示.
3. 相似三角形的预备定理:
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,______________与原三角形相似.
4. 相似三角形判定定理1:
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.此定理可简述为:_____________________________________________
5. 相似三角形判定定理2:
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边_________,且_____________相等,那么这两个三角形相似. 此定理可简述为:________________________________
6. 相似三角形判定定理3:
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边______________,那么这两个三角形相似. 此定理可简述为:______________________________
7. 两个直角三角形相似的判定定理:
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 此定理可简述为:_________________________
24.5 相似三角形的性质
知识梳理
1. 相似三角形的对应边___________,对应角_________.
2. 相似三角形性质定理1:
相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似三角形的__________.
3. 相似三角形性质定理2:
相似三角形周长的比等于__________-.
4. 相似三角形性质定理3:
相似三角形面积的比等于__________
24.6 实数与向量相乘
知识梳理
1. 实数与向量相乘的意义
一般的,设n为正整数, 为向量,那么我们用n 表示____________;用—n 表示_____.
又当m为正整数时, 表示与 同向且长度为 的向量.
2. 实数与向量相乘的运算的规定
设k是一个实数, 为向量,那么k与 相乘所得的积是一个向量,记作____________.
如果k≠0，且 ≠ ，那么k 的长度 = ;k 的方向:当k>0时,k
与 _________;当k<0时,k 与 ________.如果k=0或 = ,那么k =
3.实数与向量相乘满足的运算律
(1)实数与向量相乘满足实数加法的分配律
设m、n为实数，则
①（m+n） =_____________
②k( + )=____________
(2)实数与向量相乘满足实数加法的结合律
设m、n为实数,则m(n )=_____________
4行向量定理
如果向量 与非零向量 平行,那么存在唯一的实数m,使_________
5. 单位向量
长度为1的向量叫做__________.设 为单位向量,则 =_________.单位向量有____
;不同的单位向量,是指它们的___________不同.对于任意非零向量 ,与它同方向的单位向量记作: .由实数与向量的乘积,可知
= , =
24.7平面向量的分解
知识梳理
1.向量的线形运算
向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的________________如3( +4 )、 +（ － ）
２．向量的线性组合
如果 、 是两个不平行的向量，ｘ，ｙ是实数，那么ｘ ＋ｙ 叫做 、的_________
3. 向量的分解
根据向量的加法的意义, + 所得的和向量是向量 与 的________.如果 、 是两个不平行的向量， =m +n （m、n是实数），那么向量 就是向量m 与n 的合成。用 、 的线形组合表示向量 ，也可以说是对向量 ___________,这时,向量m 与n 是向量 分别在 、 方向上的分向量，m +n 是向量 关于 、
的分解式。
