数学教学案例一则
——浅谈课堂有效性
第一部分：《22.1多边形（1）》初始教案
教学目标：
（1） 识别多边形的顶点、边、内角及对角线， 理解多边形内角和公式的推导过程，掌握多边形内角和公式的基本运用。
（2） 经历质疑、猜想、归纳等活动发展推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流思想和方法，提高类比、归纳、转化的能力。
（3） 体验由猜想得到证实的成功喜悦和成就感，感受数学来源于生活，又服务于实践，体验数学的探索和创新，增强数学学习兴趣。
教学重点：多边形的内角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算。
教学难点：引导学生参与到探索多边形的内角和公式过程中，通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的内角和公式。
教学过程：
一、情境引入
通过投影展示奥运会重要场馆水立方，让学生了解水立方的表面是由一些平面图形拼接而成的。如：
师：以前我们知道的几何图形有三角形、四边形、正方形等，我们把这些几何图形我们称为多边形。这节课我们一起来进一步认识多边形（板书课题“22.1（1）”多边形）
二、新课学习
（1）基本概念
引导学生从三角形定义自主归纳出多边形的定义。其中介绍凸多边形和凹多边形的概念。
多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形.
凸多边形：画出任意一边所在的直线,整个多边形都在直线的同侧,这样的多边形叫做凸多边形.
凹多边形：多边形ABCD不在CD所在直线的同侧,就不是凸多边形,叫凹多边形.
通过三角形的边、顶点、内角几个基本概念的类比，自己归纳出多边形的边、顶点、内角基本概念。让学生感受三角形是最简单的多边形，同时引出，三角形不具备的“对角线”的概念。
边：组成多边形的每一条线段
顶点：相邻两条边的公共端点
内角：相邻两边所在射线组成的角
对角线：连接不相邻两个顶点的线段叫对角线
【设计意图】 对概念分析和归纳，培养学生的口头表达能力和语言组织能力，同时渗透类比思想。
（2）探究活动1：对角线的条数
提问：1、n边形从一个顶点出发有几条对角线？
2、共有几条对角线？
3、n边形从一个顶点出发有的对角线将多边形分割成几个三角形？
【设计意图】在多边形的对角线这一概念的认识和理解上，应突出它的作用，引导学生观察、发现,由于这种特殊的线段，把多边形分割成了最基本的图形——三角形，目的是为多边形内角和公式的推导埋下伏笔。
（3）探究活动2：多边形的内角和
提问：1、三角形的内角和是多少？
2、四边形的内角和是多少？
3、探索五边形的内角和你有几种方法?请和同伴一起交流.
学生动手实践，小组讨论、交流，寻找解答方法，并共同进行归纳总结。估计学生可能有以下几种方法：
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为3×180°=540°。
方法2：如图2，在CD上任取一点O，连结BO、AO、EO，则五边形的内角和为4×180°-180°=540°。
方法3：如图3，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为5×180°-360°=540°。
如果学生没有想到点O在五边形外，那么教师展示一下，让学生课后思考。从点在五边形的顶点、点在五边形的边上、点在五边形内、点在五边形外这四种不同的位置关系来归纳，渗透分类思想。
小结：纵观以上各种证明思路，其共同点是通过图形分割，把五边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决。
【设计意图】由于四边形的内角和易求得，这里采用略讲，而着重研究求五边形的内角和，经历了猜想——验证的过程，体现了数学的严密性。为了训练学生思维的灵活性和广阔性，寻求多种不同的分割方法来求出五边形内角和，以激起学生积极参与、尝试、探索。这既符合新课程教学理念，又符合学生的认知规律和年龄特征。同时渗透“化归”思想。
提问4、n边形的内角和呢？
学生分组练习，教师提问，并完成表。
多边形内角和定理： n边形的内角和a=（n-2）×180°
【设计意图】通过对表格中一组数据的填写以及问题的回答，通过观察、分析、归纳、表达活动，培养学生的推理能力，渗透由特殊到一般的思想方法。
（4） 新知运用
1、求十边形的内角和。
2、已知一个多边形的内角和等于2160度，请问这个多边形是几边形？
(将这一题的解答留在黑板上)
3、已知一个多边形的每个内角都是160度，它是几边形？
4、若一个多边形少算一个内角，其余所有的内角之和为2750度，则此多边形是几边形？
（5）巩固练习
1、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是
边形.
2、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形的边数为 .
3、一个多边形的边数增加1，则内角和增加 度.
4、有一块长方形纸片，把它剪去一个角后，所成的多边形纸片的内角和是多少度？
三、课堂小结（由师生共同完成）
1、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？有何体会？（多边形的有关概念、多边形的内角和定理，并能利用公式进行简单计算）
2、在学习多边形的有关概念时，我们通过复习三角形的有关概念来类比得出的，这种通过复习旧知识，比较、得出新知识的方法在以往的数学学习中也曾出现过。
3、我们在研究、探索多边形的内角和公式时，首先从具体的、特殊的四边形、五边形入手，来得出多边形的内角和公式。在研究问题的过程中，把多边形问题通过分割成三角形来研究，即把复杂问题转化为简单问题，这种研究和探索问题的方法都是我们在学习数学过程中，经常要用到的，就是我们常说的“化归”的思想。
4、其实这些多边形在我们生活中随处可见，除了开头的几张照片，还有很多很多例子，数学来源于生活，运用于生活，我们应该做一个有心人。
四、布置作业
1、练习册习题22.1（1）
2、补充题：
(1)已知一个多边形的每个内角都是144度，则这个多边形是几边形？
(2)若一个多边形少算一个内角，所得的其它所有的内角和为1200度，求这个被少算的内角是多少度？
(3)已知如图，求∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F的度数.
第二部分：《22.1多边形（1）》执教教案
教学目标：
（1）通过类比三角形的有关概念，认识多边形的相关概念，掌握多边形的内角和公式.
（2）在多边形内角和公式的推导过程中，体验化归思想，归纳方法.
（3）体验自主学习成功带来的喜悦和成就感，激发数学学习兴趣.
教学重点：多边形的内角和公式的探索、归纳及运用.
教学难点：探索多边形的内角和公式，通过自主学习得出多边形的内角和定理.
教学过程：
一、情境引入
通过投影展示奥运会重要场馆水立方.
二、新课学习
（1）基本概念
引导学生从三角形定义自主归纳出多边形的定义.其中介绍凸多边形和凹多边形的概念.
多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形.
凸多边形：画出任意一边所在的直线,整个多边形都在直线的同侧,这样的多边形叫做凸多边形.
凹多边形：多边形ABCD不在CD所在直线的同侧,就不是凸多边形,叫凹多边形.
从三角形的边、顶点、内角几个基本概念类比类比自己归纳出多边形的边、顶点、内角基本概念.让学生感受三角形是最简单的多边形，同时引出，三角形不具备的“对角线”的概念.
边：组成多边形的每一条线段.
顶点：相邻两条边的公共端点.
内角：相邻两边所在射线组成的角.
对角线：连接不相邻两个顶点的线段叫对角线.
（2）探究活动1：对角线的条数
提问：1、n边形从一个顶点出发有几条对角线？
2、共有几条对角线？
得出：n边形从一个顶点出发有 n- 3条对角线, 共有条对角线.
（3）探究活动2：多边形的内角和
提问：1、三角形的内角和是多少？
2、四边形的内角和是多少？
3、n边形的内角和是多少?请和同伴一起交流.
得出：多边形内角和定理： n边形的内角和a=（n-2）×180°（n≥3）
（4）新知运用
1、求十边形的内角和.
2、已知一个多边形的内角和等于2160度，请问这个多边形是几边形？
3、已知一个多边形的每个内角都是160度，它是几边形？
（5）巩固练习
1、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是
边形.
2、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是 边形.
3、若一个多边形少算一个内角，其余所有的内角之和为900度，则此多边形是几边形？
4、有一块长方形纸片，把它剪去一个角后，所成的多边形纸片的内角和是多少度？
三、课堂小结（由师生共同完成）
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？有何体会？
四、布置作业
1、练习册习题22.1（1）
2、补充题：
(1)已知一个多边形的每个内角都是144度，则这个多边形是几边形？
(2)若一个多边形少算一个内角，所得的其它所有的内角和为1200度，求这个被少算的内角是多少度？
(3)已知如图，求∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F的度数.
第三部分：《22.1多边形（1）》新旧教案不同点
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比较项目 |
初始教案 |
执教教案 |
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教学目标 |
（1）识别多边形的顶点，边、内角及对角线， 理解多边形内角和公式的推导过程，掌握多边形内角和公式的基本运用。 （2）经历质疑、猜想、归纳等活动发展推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流思想和方法，提高类比、归纳、转化的能力。 （3）体验由猜想得到证实的成功喜悦和成就感，感受数学来源于生活，又服务于实践，体验数学充满探索和创新，增强数学学习兴趣 |
（1）通过类比三角形的有关概念，认识多边形的相关概念，掌握多边形的内角和公式. （2）在多边形内角和公式的推导过程中，体验化归思想，归纳方法. （3）体验自主学习成功带来的喜悦和成就感，激发数学学习兴趣. |
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探究活动 |
探究活动一：对角线的条数 提问：1、n边形从一个顶点出发有几条对角线？ 2、共有几条对角线？ 3、n边形从一个顶点出发有的对角线将多边形分割成几个三角形？ 探究活动二：多边形的内角和 提问：1、三角形的内角和是多少？ 2、四边形的内角和是多少？ 3、探索五边形的内角和你有几种方法?请和同伴一起交流. 4、n边形的内角和是多少? |
探究活动一：对角线的条数 提问：1、n边形从一个顶点出发有几条对角线？ 2、共有几条对角线？ 探究活动二：多边形的内角和 提问：1、三角形的内角和是多少？2、四边形的内角和是多少？ 3、n边形的内角和是多少?请和同伴一起交流. |
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公式探究 |
教师提问3、探索五边形的内角和你有几种方法?请和同伴一起交流后，学生动手实践，小组讨论、交流，寻找解答方法，并共同进行归纳总结。估计学生可能有的三种方法。 |
删掉这一环节 |
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新知运用 |
4、若一个多边形除去一个内角，其余所有的内角和为2750度，则此多边形是几边形？ |
放到了巩固练习中 |
第四部分：《22.1多边形（1）》新旧教案比较分析
一、教学目标
（1）初稿教案中，教学目标以知识目标，能力目标，情感目标三维目标来制定的，由于我设定了几个探究活动，而教学中我想体现的数学方法较多，我个人想达到的目标也较多，有些目标的制定显得有些杂乱，甚至牵强。如“感受数学来源于生活，又服务于实践”，仅因为引入用了水立方就想达到这一目标似乎有点勉强。（2）由于教学过程的探究活动的几个问题目的性较强，能力目标中经历质疑，猜想，归纳活动中的猜想这一环节没有体现出来，当问题3、n边形从一个顶点出发有的对角线将多边形分割成几个三角形？提出并解决后，很多同学就已经利用理论推理得到了多边形的内角和公式了，从而没有预想的质疑与猜想的过程。（3）教学目标中谈到了“发展推理能力”这个“推理”到底是指数学的不完全归纳法证明呢，还是一种逻辑思维能力的提高，概念指向不明确。从这三方面的考虑对教学目标进行了修改，这样更简洁，也更符合本节课的特点。
二、探究活动
第一次试讲，定在年级最好的班级八（2）班，为了让学生探索多边型的内角和公式，我设计了两个探究活动：
在探究活动的第3个问题提出后，我让学生小组交流，当在教学过程中我发觉，我原本计划的学生讨论环节根本就没有出现，学生根本就不需讨论就得出了结论。有的甚至直接得到了n边形的内角和公式后，再把n=5代进去得到五边形的内角和，原本我预想把这个问题当作推出多边形内角和公式的一个铺垫，而事实上完全多余。后通过两位导师的分析让我恍然大悟：我设计的问题对于该班学生步子太小。如果在另一个层次较弱的班级上，可能有较好的效果，但由于对象的不同成了一个败笔。在他们的帮助下我根据我要上课班级的特点调整了设问的步伐，给学生恰当的思考空间，这样上下来的效果好多了，课堂教学更具有效性。
三、公式探究
第一稿的公式探究教学将探究多边形内角和的不同方法作为教学重点，而第二稿则删掉了这一环节，引导学生主要按第一种方法探究，而如果有学生想到其他方法，则简单的介绍一下，如果没有学生想到，就不作说明，这样改动的原因是本节课的教学重点是让学生探究多边形的内角和，体验将多边形的问题转化成三角形的问题，体现化归思想。而要达到这一目的，方法一就足够了，如果太强调分割的方法，为给部分同学，特别是数学学习有困难的同学一定的干扰，使他们疲于去理解不同的分割方法，甚至产生混淆，到最后还是不能理解到底用哪种，怎么用？
四、练习设计
第一稿中新知运用第4题放到了巩固练习中，目的是进一步突显多边形的内角和公式中的多边形的边数与多边形的内角和这两个量中已知其一便可求其二的这一重要作用，而这一设计强调了通法，选题应考虑学生的认知发展，这一改动更加顺应学生的认知发展。。
第五部分：《22.1多边形（1）》教学反思
结合本节课的教学，我从以下三方面进行了反思：
一、教材与教参的分析
“多边形的内角和”一节包括的内容主要有多边形的有关概念以及多边形内角和公式的推导和运用。本节课作为本章的一个重点，是三角形有关知识的拓展，学习四边形的基础, 公式的运用还充分地体现了图形与客观世界的密切联系。同时，对今后学习的镶嵌，正多边形和圆等都是非常重要的。因此，本节课具有承上启下的作用，符合学生的认知规律。编者从简单的几何图形入手，体现了把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的化归思想。
二、教法与学情分析
（1）关于处理好课堂中的基础与发展的关系
现在正要求教师进行有效教学，处理好课堂中基础与发展的关系则是提高课堂有效性的重要体现。要让学生发展，给学生的问题、思考的空间、问题的难度都要在备课的考虑范围以内，难度不够、空间太小，训练不足学生的思维能力与知识能力得不到有效的发展，考虑了学生各方面的情况的条件下设计教学过程的提问会更有针对性、目的性，同时不乏开放性。而如果用过于琐碎的无意义的问题牵着学生鼻子走，用只有惟一答案的问题领着学生朝同一方向迈进，会限制学生的思维。这样一次经历让我深感每一节课的设计一定要适合教学的对象——学生，设计的问题和环节难度要适当，空间要适宜。教师如果能深刻理解基础与学生发展的重要性，从每一节课做起，加强备课的目的性、针对性和实效性，一定能优化教学过程，发展学生潜能。
（2）注重“突出重点”，忌“面面俱到”
正式教学中，立体设计与公式探究两个环节都进行了改动，其实本节课中可以抓的点很多，能体现的数学方法很多，而我在备课过程中往往希望学生能够学到更多的东西，所以经常想面面俱到，使得教学内容更丰富，但有时反而会因为顾虑的问题太多，造成目的不明确，不能突出重点，因此在备课时，我们应该认真的研究教材，研习大纲，有所侧重，有所删选，注意排除人为的干扰，增强教学目的性，确保重点突出。
（3）关于课堂中的应变
两次试讲课中，学生的思维都在我的引导下进行，出现的不同情况也都在我的预料之中。但在正式教学过程中，当我让学生探究n边形的内角和时出现图1中的情况：这种情况在两次试讲中都没有出现过，而此时如果我借这位同学的错误分割方法想下去的话恰好可以引出另一种分割方法，即点O在多边形内，也可以借这种方法，引导学生一定要注意“不重复不遗漏”，这样课堂教学会更充实，但在实际教学中当我看到这种方法，第一反应就是他画错了，而没有其它更多的解释，便顺着我计划的思路进行下去了，这样处理没有让学生真正体会错在哪里，只让学生被动的接受正确的方法。如果当时有足够的应变能力，及时的将学生的错误变为宝贵的教学资源与载体，这里应该是个不错的环节。老师的应变有时会成为一节课成功的关键所在，而较强的应变能力往往不是与生俱来的，它除了需要较强的理论功底作为基础，还需要长期的经验的积累。在今后的教学生涯里，多读理论书籍，每天坚持进行课后反思，坚持写课后记将成为我的必修课。
（4）重视每一个细节
不论是试讲还是公开课，蔡老师都会详细的记下每一环节的时间，会记录教师提出的每一个问题。是呀，数学是一门严密的学科，课堂教学更应该重视每一个细节，大到每个环节的安排，小到教师表达的每一个用词，要做到“滴水不漏”，而这等功力是必须通过每一节日常教学的重视与积累获得的。
三、教学效果
在本节课的教学中，我严格遵循学生的认知规律，让学生积极探索，成为学习的主人，产生了强烈的学习激情。本节课从整个流程来看，重点突出，主线清晰，基本达到制定的教学目标，学生对多边形的内角和公式掌握情况良好，同时在让学生掌握新知的同时，探究问题的能力也得到了锻炼，体会了化归的思想，顺应二期课改的教育理念。但也存在不足，如上面应变能力中提到的这一环节，处理不是很妥当，而正由于这一环节的问题，影响到了最后练习部分的解决。
一节公开课是许多老师共同努力的结果，每一个方面都争取尽善尽美，其实日常教学又何尝不是这样呢？只有我用心上好每节课，我的学生才会用心学数学，从而喜欢上数学学科，而我才能为自己积累丰富的经验，日益积累宝贵的财富。
现在正在提倡有效性教学，而我们认真备课的目的不正是将课堂教学的有效性发挥到最大吗？有效课堂作为一种理念,更是一种价值追求,一种教学实践模式,将会引起我们更多的思考、更多的关注！为了提高课堂教学的有效性,我们必须以教学理论作指导,经过自己的不断实践,不断总结,不断完善与创新,熟练地运用课堂教学的有效性策略,真正提高课堂教学的质量,提高学生学习的质量。