24.4  相似三角形的判定

                              

教学目标

1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式；

2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1；

3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长.

教学重点及难点

   了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l.

教学过程                                                     

一、引入

1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？

2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？

3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形）

本节学习相似三角形的定义及相关判定定理.

  二、学习新课

   新授1： 相似三角形的定义，相似比的概念

相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.

相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.

[说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例．

相似比的概念 ：相似三角形对应边的比 ，叫做相似比（或相似系数）．

[说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．

类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比， 叫做相似比.如图， 是相似三角形，则 相似可记作 ∽ .由于 ，则 与 的相似比 ，则 与 的相似比 .

让学生猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比 时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.

想一想：如果 ∽ ， ∽ 那么 与 相似吗？请学生利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

思考问题：（l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？

新授2：相似三角形的预备定理

   

教材通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：（1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的． （2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过．（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．（5）建议教师在教学中经常采用一些形象性语言，如：有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形． 我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形.

新授3：相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）.

问：判定两个三角形全等的方法有哪几种？

答：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．

问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？

答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．

问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．如图在△ABC和△  中， 问：△ABC和△ 是否相似？ （分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．）

问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？

答：①相似三角形的定义，②预备定理．

问：根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？

答：预备定理，因为用定义条件明显不够．

问：采用预备定理，必须构造出怎样的图形？

问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？ 此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理．（1）在△ABC边AB（或延长线）上，截取，过D作DE∥BC交AC于E．“作相似．证全等”． （2）在△ABC边AB（或延长线上）上，截取，在边AC（或延长线上）截取AE=，连结DE，“作全等，证相似”．（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）

   三、巩固练习

1、已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°, ∠B=80°, ∠E=80°,

∠F=60°.(1)求证: △ABC∽△DEF;(2)写出对应边成比例的式子.

2、（1）已知:如图5-58,直线BE,DC交于A, ∠E=∠C.求证:DA·AC=BA·AE.

（2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请证明.

3、已知:如图,Rt△ABC中, ∠ABC=90°,BD AC于D.

(1)    图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?

(2)    用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

(3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.

四、课堂小结

1、相似三角形的定义，相似比的概念

2、三角形相似与全等的判定方法的类比.

3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个独立条件.

4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.

五、作业布置

书后练习1-3，练习册24.4（1）