数学问题的模型求解

 

陈爱华

（田林三中）

 

    在今年6月13日颁布的《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》

（简称《决定》）中明确指出了素质教育要以培养学生的创造精神和实践能力为重点，积极实行启发式和讨论式教育，激发学生独立思考和创新意识，切实提高教学质量。《决定》要求我们教师积极改革陈旧的教育观念、教育体制、教育结构、人才培养模式、教育内容和教学方法。本文首先谈谈学习《决定》的一点体会，然后结合自己的数学教学提出一种适合不同年龄层次学生特点的教学方法——条形图模型。

在数学教学中，同一内容可以用不同的方法进行讲解。较为直观的方法可以启发学生进行独立地进行思考，培养他们的逻辑推理能力，特别是把握具体问题中数量之间的关系。数学是一门推理性很强的学科，我们不能象语文和英语等课程那样要求学生去熟记这样的规则或那样的公式，否则会使数学学习变得枯燥乏味。在我国小学年龄段的女生的数学成绩往往高于男生，但随着年龄的增长，特别是到了高中阶段她们的数学成绩却显得越来越差。究其原因，其实不在于他们的年龄，而是在于小学时代女孩子通常较为顺从，记忆力强，这就足以应付加减乘除等少量的规则和公式。然而到了初中和高中阶段，数学知识对于逻辑推理能力的要求越来越高，光靠记忆力已远远不够：如果不明白问题中的数量之间的逻辑关系，死的规则和公式又有何用。有的教师常感到困惑：某某学生上一次考了90分，这一次怎么仅考了个60分。原因可能是多方面的，但其中最为主要恐怕是“公式化”，“规则化”的教学方法。要改变这状况，首先要求不断更新我们的教材，其次要改变过时的教育观念，作为教师更为重要的是在教学方法上下功夫：教师应以学生为中心，采用直观的教学方法和手段，启发学生，逐渐开发每一个学生的潜力，帮助他们提高分析、推理和综合能力。

下面从一个具体的问题出发探讨一下中学数学教学中一个值得采用的启发式教学方法——条形图模型。

【例1】   小明和小刚共有苹果若干，小明的苹果数是小刚的5倍。若小明给小刚36个苹果，他们两人的苹果就一样多，问他们共有多少苹果？

这一问题可用列二元一次方程组求解。若令X和Y分别为小明和小刚原有的苹果数，

那么X和Y满足下面的二元一次方程组：

          X=5Y

          X-36=Y+36

容易解得X=90，Y=18。从而X+Y=108，即小明和小刚共有苹果108个。

这一问题可用条形图模型求解如下：将小刚原有的苹果数视为一个单位，那么由题意，

小明原有的苹果数为5个单位，由此得到模型

 起先：

小明

 

小刚

 

后来：

小明

 

小刚

2个单位 # 36

1个单位 # 36¸ 2=18

6个单位 # 18´6=108

所以小明和小刚共有108个苹果。

       可见条形图可使数量之间的关系变得一目了然，随后的求解过程只涉及简单的加减乘除运算（而不是解方程或方程组），简单直观，又富有很强的启发性。这种模型不仅可以表达原有数量之间的关系，而且还可突出数量的变化过程和新的数量关系。模型的建立过程便是（动态地）分析这些数量关系的具体体现。下面进一步就初中数学中的几类问题分别举例说明这种模型化解题的具体应用。

 

一、分数问题

【例2】   某中学2/5的学生是女生，其余是男生。其中1/2的女生，1/2的男生参加

了校运动会。如果此中学共有570名学生没有参加校运动会，问学校共有多少学生？

解：将学校的学生分成5个单位，则由题意，其中2个单位是女生，3个单位是男生，

由此可得下面的模型

 

 

 

 

 

未参加运动会的共有 1个单位+1 1/2个单位=2 1/2个单位

      2 1/2个单位 # 570

       5个单位 # 570´2=1140。

所以学校共有1140个学生。

二、比例问题

【例3】   4月份小王与小李在银行的储蓄额是3：5，到了6月份小王的储蓄额增加了

28元，而小李的储蓄额却减少了14元，结果他们两位的储蓄额正好相等，问小李4月份的储蓄额是多少？

    解：由题意，可将4月份小王和小李的储蓄额分别视为3个单位和5个单位，由此得到模型

       4月份：

小王

 

小李

 

       6月份：

小王

28元

 

小李

 

       2个单位 # 28元+14元=42元

       1个单位 # 42元¸2=21元

       5个单位 # 21元´5=105元。

所以小李的储蓄额为105元。

三、百分比问题

【例4】   某中学80%的学生是男生，新学期开始时，学校共增加了320名学生，其男

生增加了25%，而女生正好翻一倍，问原来学校共有多少学生？

    解：按题意可将学校原来的女生数视为1个单位，男生数视为4个单位（5 个单位的80%），由此得到模型

开学前：

男生

 

女生

 

开学后：

男生

 

女生

 

       2个单位 # 320

       1个单位 # 320¸2=160

       5个单位 # 160´5=800。

所以原来学校共有学生800名。

四、面积问题

【例5】   有三个正方形X、Y、Z重叠在一起（见右图）。

X、Y和Z的面积之比为1:2:3。正方形Y的40%被X所覆盖

形成阴影，问非阴影部分占多少百分比？

解：由于Y被X覆盖形成的阴影部分占整个图形的40%，

故可将阴影部分视为4个单位，再根据正方形X、Y、Z的比

例可列出下面的模型

 

 

X

 

Y

 

Z

 

X

 

Y

 

Z

 

可见整个图形被分割成15+1=16个单位，所以图形的非阴影部分占整个图形的12/16 ´100%=75%。

五、收益问题

【例6】   一商人有一台电视机。如果以原价的10%打折出售，他还可赢利150元，但

如果打折30%出售，那么他要蒙受150元的损失，问电视机的成本价是多少？

解：商品的价格有三种：成本价，销售价和原价之分。我们在解这类题目时

经常将商品的原价视为一个单位或100%。由此根据题意我们可作出下面的模型

                       |˜----------------  -  原价 --------------------------------------- --®|                            

                       |˜----------------    销售价 ------------------------------ --®|                           

                       |˜----------------    成本价 ---------------------- --®|                             

 

                       |˜----------------    销售价 ------------- ---®|                           

 

30%-10%=20% # 150元+150元=300元

1%  # 300元¸20=15元

100% # 15元´100=1500元（通常的价格）

电视机的成本价=90%´1500元-150元=1200元

   （或70%´1500元+150元=1200元）。

六、行程问题

【例7】   两城市A和B之间的距离为210公里。上午8点30分有一辆轿车以平均速度

60公里/小时从A出发驶向B，同时另有一辆公共汽车以平均速度45公里/小时从B出发驶向A，问当轿车与公共汽车相遇时，公共汽车行驶了多少路程？

    解：公共汽车与轿车所行驶的距离之比等于两者的速度之比，即60:45=4:3,因此我们可将A到B的整个路程分7个单位，进而得到下面的模型

 

A

B

 

4个单位+3个单位=7个单位 # 210公里

1个单位 # 210公里¸ 7=30公里

3个单位 # 30公里´3=90公里。

所以当轿车与公共汽车相暴时公共汽车行驶了90公里。

 

上面的几类问题均可用设求知数列方程的方式求解，例如上面的例2至例5可用一元

一次方程求解，例6和例7可用二元一次方程组求解，请读者自己完成。然而如前面已提过的条形图方法具有

（1）简单直观，富有启发性；

（2）易于反映量与量之间的关系；

（3）易于反映量的变化（增加或减少）的过程；

（4）易于教师讲解，特别是进行多媒体教学；

（5）易于学生提高逻辑推理能力，培养他们的创造性思维能力。

正是这些优点，这些类型的问题实际上可让3至5年级的学生学习。

 

最后需要说明的是，模型的建立并不局限于条形图。我们希望模型方法引入到教材和课堂中，使《决定》所提到的“培养学生的创造精神和实践能力”真正落实下来。